Пет коцкица, 300 бројева и 15 година математике – решен проблем „ко игра први“

Тим математичара открио је да пет коцкица са по 60 страна, на којима су бројеви распоређени на тачно одређен начин, може да одреди потпуно праведан редослед играња за било коју групу играча, без икакве могућности да дође до нерешеног исхода.

Током вечере на једној конвенцији друштвених игара око 2010. године, дизајнер игара Џејмс Ернест окренуо се свом пријатељу Ерику Харшбаргеру и поставио му питање: Да ли је могуће направити сет коцкица тако да сваки играч у групи – било да их је двоје или више – може да узме једну, баци је и има потпуно једнаке шансе да игра први?

Правило је једноставно: баците коцкице и онај ко добије највећи број игра први. Тежи део је обезбедити да исход заиста буде праведан за сваког играча, без обзира на то колико их седи за столом.

Није смело да буде нерешених исхода, нити поновног бацања.

Харшбаргер, математичар са Универзитета Оберн у Алабами, те вечери није имао одговор. Међутим, питање му није излазило из главе.

Током наредних 15 година, он и неформална мрежа сарадника повремено су радили на решавању онога што је постало познато као проблем „коцкица за одређивање првог играча“.

Сада су коначно дошли до решења: сет од пет коцкица са по 60 страна, на којима су заједно угравирани сви бројеви од 1 до 300, без понављања.

Како би обележио успех, Харшбаргер је направио пет огромних дрвених реплика тих хексеконтаедара – тродимензионалних тела са 60 страна – од којих је свака израђена од друге врсте дрвета. Оне су сада део сталне поставке у новој згради математичког одељења Универзитета Оберн.

Проблем са коцкицама

Да би се разумело зашто је овај проблем било толико тешко решити, најпре треба разумети његов једноставнији део.

„Лако је избећи нерешен исход – једноставно ставите различите бројеве на све коцкице“, рекао је Харшбаргер за Лајв сајенс. „Проблем настаје када треба распоредити те различите бројеве по коцкицама тако да вероватноћа буде једнака не само за цео сет већ и за било који његов подскуп.“

Управо тај други услов чини проблем изузетно тешким. Ернест није тражио само да осам играча може равноправно да баца коцкице, већ да било који број играча може да узме било које коцкице из врећице, баци их и да сви и даље имају једнаке шансе. Ако игра петоро људи, свако узима по једну коцкицу. Ако их је троје – исто важи. Бројеви на свакој коцкици морали су да буду распоређени тако да праведност остане очувана без обзира на број играча.

Харшбаргер је у истраживање укључио пријатеља из детињства Роберта Форда, математичара са Државног колеџа Далтон. За само неколико недеља дошли су до решења за три играча: бројеве од 1 до 18 распоредили су на три стандардне шестостране коцкице на тачно одређен начин. Форд је касније, рачунајући у потпуности ручно, утврдио да четири коцкице са по 12 страна могу на праведан начин да се користе за четири играча.

До 2012. године Харшбаргер је већ представљао сет за четири играча на математичким конференцијама. Његово електронско сандуче било је преплављено порукама. Почео је код куће ручно да израђује и продаје сетове – куповао је празне коцкице са 12 страна, ласерским резачем у својој радионици урезивао бројеве на сваку страну, а затим сваки број ручно бојио.

На врхунцу потражње носио је у пошту по 30 коверата одједном, и то неколико пута недељно, шаљући сетове купцима широм света.

Међутим, како је тим дубље проучавао математику која стоји иза свега, открили су да коцкице раде нешто још необичније него што су у почетку схватили: њихов распоред није одређивао само ко ће играти први већ и целокупан редослед играња, при чему је сваки могући редослед играча имао потпуно једнаку вероватноћу.

„Ако би четворо људи бацало коцкице, вероватноћа да играчи заврше по редоследу А, Б, Ц, Д била је иста као да редослед буде Ц, Б, Д, А, или било која друга комбинација“, рекао је Харшбаргер. „Назив 'коцкице за одређивање првог играча' заправо је помало погрешан, јер оне раде много више од тога да одреде ко ће бити први – оне заправо одређују редослед свих играча.“

Ово својство, које тим назива „праведност пермутација“, постало је стандард којем су тежили приликом израде сваког наредног сета коцкица.

Више комбинација него атома у свемиру

Четири играча била су једно. Пет играча представљало је сасвим други проблем.

Математички гледано, тим је знао да је могуће направити сет коцкица истог облика за пет играча. Међутим, проналажење таквог решења захтевало је претраживање незамисливо великог броја могућих распореда бројева.

„Говоримо буквално о броју који је већи од броја атома у свемиру – око 10 на 128. степен комбинација“, истиче Харшбаргер. „Једноставно нема начина да се то уради, чак и када бисмо имали милијарду милијарди година, све рачунаре и сву вештачку интелигенцију. Ни данас не бисмо могли да решимо проблем на тај начин.“

Није било могуће доћи до решења простим испробавањем свих комбинација. Биле су им потребне математичке пречице – симетрије и обрасци који би смањили простор претраге. Али чак и тада су пролазиле године без практичног решења. Сваки пут наилазили су на исти проблем: коцкице су биле превелике да би се држале у руци или су имале превише страна да би могле практично да се произведу.

„Мој циљ је био да направимо сет за пет играча који заиста може да се произведе, који можете да држите у руци и који љубитељи друштвених игара могу да купе и бацају“, наглашава математичар.

„Чак и ако је проблем, када је реч о самој игри, смешан и бесмислен – математички је занимљиво питање да ли можете да купите те ствари, бацате их и да оне функционишу. То не можете да урадите са коцкицама које имају 180 страна.“

А онда је, средином 2023. године, канадски софтверски инжењер Пол Мајер изненада послао мејл Харшбаргеру. Проучавао је обрасце у Харшбаргеровим подацима за четири играча и написао програм који је требало да их искористи. Није очекивао да ће одмах функционисати.

Али јесте.

Мајер је пронашао распоред за пет коцкица са по 60 страна који је испуњавао све услове.

„Два пута сам проверио његов рад и помислио: 'О, боже, толико дуго смо трагали за овим. Ово је невероватно'“, признаје Харшбаргер.

Од радионице до галеријског зида

Сет за четири играча одавно су почели да продају специјализовани трговци – „Maths Gear“ у Великој Британији и „Math Art Fun“ у Сједињеним Државама – па је Харшбаргер годинама раније престао да их ручно израђује. Сада је и верзија за пет играча постала стварност и била је довољно мала да може да се производи.

Али прича је добила још један обрт. Универзитет Оберн градио је нову зграду за свој математички одсек и тражио идеје за скулптуре које би биле постављене у њој. Харшбаргер је предложио да од дрвета направи огромне верзије пет нових коцкица. Одељење је прихватило предлог.

Месецима је радио у својој столарској радионици, правећи пет предимензионираних коцкица. Свака је направљена од друге врсте дрвета – бора, тополе, храста, ораха или махагонија. Пет скулптура сада се налази у новој згради математичког одељења Универзитета Оберн, која је отворена ове јесени.

За Харшбаргера, суштина читавог пројекта јесте да математика постане нешто поред чега је немогуће само проћи.

„Када људи виде огромне или мале коцкице, фасцинира их већ сама геометрија“, рекао је Харшбаргер. „Нада је да ће видети те предмете и помислити: 'О, па и ово је математика, и ово је занимљиво.' Неки од најзанимљивијих математичких проблема јесу они које је лако разумети, али на које није лако пронаћи одговор.“